arkamikontrolet
New member
İki sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını hesaplama metodunu milattan evvel 300’lü senelerda Öklid, ‘Elementler’ isimli yapıtında paylaşmıştır. Bu sisteme ‘Öklit Algoritması’ deniyor ama buradan türetilmiş daha kolay hesaplama biçimleri de mevcut.
Ekseriyetle sayıları asal çarpanlarına ayırıp, akabinde duruma bakılırsa uygun çarpanları seçerek istersek EBOB’u ya da EKOK’u hesaplayabiliyoruz. Gerçek dünya’da bir işe yaramayacaklarmış üzere gözükse de, dokuma üzere bir hayli farklı bölümde kullanılabiliyor. Gelin artık EBOB ve EKOK nedir, nasıl hesaplanır bir arada bakalım.
EBOB Nedir?
En büyük ortak bölen, iki yahut daha fazla sayının en büyük ortak bölenini tabir eder. Hesaplamak için kullanılabilecek iki tanınan metot vardır. Bir tanesi Öklidin Elementler’de tabir ettiği Öklid algoritması, ikincisi ise kısmen daha kolay ve daha sık kullanılan bir metot.
Rastgele iki sayının EBOB’unu ‘EBOB()’ halinde gösterelim. Öklid algoritması rastgele iki sayı üzerinde çalışan bir algoritmadır. Elinizde a ve b sayıları varken üç durumdan kelam edebiliriz.
Öbür rastgele bir durumda büyük olan sayıyı küçük olana böler, kalan kıymet sıfır olana dek küçük sayı ile bölmeye devam ederiz. Artık a, b’den büyükken şayet a ile b nin kısmından kalan c ve c sıfırdan farklı ise, bu sefer b ile c yi bölüyoruz ve kalanına bakıyoruz. Şayet sıfır değilse c ile bu sayıyı bölerek süreçlere devam ediyoruz. Kalan 0 olduğu vakit bulduğumuz küçük bölen, başlangıçtaki iki sayının EBOB’u oluyor.
EBOB nasıl hesaplanır?
Adım 1#: Bölerek başlama
28 ile 16’yı böldüğümüzde kalan 12 oluyor, sıfırdan farklı olduğu için devam ediyoruz
Adım 2#: 0’a ulaşana kadar bölmeye devam etmek
16 ile 12’yi böldüğümüzde kalan sayı 4 oluyor hala sıfırdan büyük olduğu için devam ediyoruz. Son kademede ise elimizdeki sayı 12 ve 4 oluyor. Bunların kısmında ise elimizde kalan 0 oluyor. Bu durumda 4 sayısı 28 ve 16’nın EBOB’u oluyor. Yani EBOB (28, 16)=4
Prosedür #2: Çarpanlarına ayırarak hesaplama:
Elimizdeki sayıar 28 ve 16’yı birinci vakit içinderda asal çarpanlarına ayıralım.
Adım 2#: Ortak olan asal çarpanları seçmek ve bulunan ortak sayıları çarpmak
Artık ortak olan asal çarpanları seçelim, iki sayıda da 2 adet 2’nin ortak olduğunu görüyoruz. Bu sayıları çarparak en büyük ortak bölenlerini elde etmiş oluruz. Alışılmış ki yanıt bir daha 4 olur.
Pekala EKOK nedir?
En küçük ortak kat, verilen iki yahut daha fazla sayının en küçük ortak katını bulmamıza imkan sağlıyor. Hesaplamada bir daha asal çarpanlardan yararlanabileceğimiz üzere, iki sayının en büyük ortak bölenini kullanarak da EKOK hesaplayabiliyoruz.
Birinci metotta asal çarpanları sıralayarak başlıyoruz. Akabinde ortak çarpanları birer kere yazıp, ortak olmayanları da dahil ederek çarpma yapıyoruz ve sonuca ulaşıyoruz. İkinci metotta ise elimizdeki iki sayıyı çarpıp mutlak bedel içerisine alıyoruz. Akabinde kararı bu iki sayının EBOB’una bölerek EKOK’a ulaşmış oluyoruz. Artık bunlara ayrıntılıca bakalım.
EKOK nasıl hesaplanır?
EBOB anlatımında yapıldığı üzere tıpkı biçimde 28 ve 16’yı asal çarpanlarına ayırıyoruz
Adım 2#: Birebir olan çarpanlardan birer tane almak ve sonuca ulaşmak
Artık tıpkı olan çarpanlardan birer adedini alacağız, siyah işaretli ikiler her iki sayının da çarpanı olduğundan birer sefer alınacaklar. Bunlar haricindeki çarpanlar da direkt olarak eklenecek. Bu durumda EKOK (28, 16)=7x2x2x2x2=112 olarak hesaplanıyor.
Bu metotta dikkat etmemiz gereken nokta ortak asal çarpanlardan sadece birer adedini çarpmaya ekliyor olmamız. Siyah daire ortasındaki 2’lerden her iki sayının çarpanlarında da olduğu için onlardan birer adedini sürece ekliyoruz. bu biçimdelikle 4 adet 2 ve bir adet 7 yi çarparak sonuca ulaşabiliyoruz.
Sistem #2: Asal çarpanları üslerle tabir ederek EKOK hesaplama:
Adım 1#: Asal çarpanları belirlemek
Üstteki örneklerde verildiği üzere tıpkı biçimde 28 ve 16’yı asal çarpanlarına ayırıyoruz.
Adım 2#: Belirlenen sayıları üslü sayılar halinde düzenlemek
Asal çarpanlarına ayırdıktan daha sonra belirlediğimiz sayıları üstlü sayılar hailne getiriyoruz.
Adım 3#: Kuvveti en yüksek olanlar ile çarpmak
Buradaki çarpanlar içinde kuvveti en yüksek olanları alıp çarpacağız. Yani 7’nin kuvveti 1 olduğundan 7 üzeri 1, 2’nin en yüksek kuvveti 4 olduğundan 2 üzeri 4 ü çarpıma ekleyeceğiz. Süreci yaptığımızda yanıt 112 bulunuyor:
EBOB ve EKOK hesaplama araçları:
EBOB ve EKOK’un nasıl hesaplanacağını üstte belirttik. Ne kadar kendi elimizle yapacağımız yollar olsa da, bu hesaplamaları bizim yerimize yapan uygulamalar da mevcut. Bu uygulamalar genel manada kullanması fiyatsız ve bir birçoklarına internet üzerinden kolaylıkla erişebiliyorsunuz. İnternet sitelerinin yanı sıra taşınabilir cihazlarınızdan da EBOB ve EKOK hesaplayacak uygulamalara fazlaca rahat bir biçimde erişebilirsiniz.
Andorid için EBOB ve EKOK hesaplama araçları:
İOS için EBOB ve EKOK hesaplama araçları:
iOS mağazasında bulabileceğiniz uygulamalar maalesef Android’deki kadar çeşitli değil ve uygulamanın kendisi paralı. Lakin bir dahade örnek olarak vermek istedik.
Ekseriyetle sayıları asal çarpanlarına ayırıp, akabinde duruma bakılırsa uygun çarpanları seçerek istersek EBOB’u ya da EKOK’u hesaplayabiliyoruz. Gerçek dünya’da bir işe yaramayacaklarmış üzere gözükse de, dokuma üzere bir hayli farklı bölümde kullanılabiliyor. Gelin artık EBOB ve EKOK nedir, nasıl hesaplanır bir arada bakalım.
EBOB Nedir?
En büyük ortak bölen, iki yahut daha fazla sayının en büyük ortak bölenini tabir eder. Hesaplamak için kullanılabilecek iki tanınan metot vardır. Bir tanesi Öklidin Elementler’de tabir ettiği Öklid algoritması, ikincisi ise kısmen daha kolay ve daha sık kullanılan bir metot.
Rastgele iki sayının EBOB’unu ‘EBOB()’ halinde gösterelim. Öklid algoritması rastgele iki sayı üzerinde çalışan bir algoritmadır. Elinizde a ve b sayıları varken üç durumdan kelam edebiliriz.
- 1. Durum: a ve b sayısı birbirine eşittir (a=b)
- 2. Durum: a sayısı b sayısından büyüktür (a>b)
- 3. Durum: b sayısı a sayısından büyüktür (b>a)
Öbür rastgele bir durumda büyük olan sayıyı küçük olana böler, kalan kıymet sıfır olana dek küçük sayı ile bölmeye devam ederiz. Artık a, b’den büyükken şayet a ile b nin kısmından kalan c ve c sıfırdan farklı ise, bu sefer b ile c yi bölüyoruz ve kalanına bakıyoruz. Şayet sıfır değilse c ile bu sayıyı bölerek süreçlere devam ediyoruz. Kalan 0 olduğu vakit bulduğumuz küçük bölen, başlangıçtaki iki sayının EBOB’u oluyor.
EBOB nasıl hesaplanır?
- Prosedür #1: Öklit algoritması ile hesaplama
- Metot #2: Çarpanlarına ayırarak hesaplama
- Adım 1#: Bölerek başlama
- Adım 2#: 0’a ulaşana kadar bölme süreci
Adım 1#: Bölerek başlama
28 ile 16’yı böldüğümüzde kalan 12 oluyor, sıfırdan farklı olduğu için devam ediyoruz
Adım 2#: 0’a ulaşana kadar bölmeye devam etmek
16 ile 12’yi böldüğümüzde kalan sayı 4 oluyor hala sıfırdan büyük olduğu için devam ediyoruz. Son kademede ise elimizdeki sayı 12 ve 4 oluyor. Bunların kısmında ise elimizde kalan 0 oluyor. Bu durumda 4 sayısı 28 ve 16’nın EBOB’u oluyor. Yani EBOB (28, 16)=4
Prosedür #2: Çarpanlarına ayırarak hesaplama:
- Adım 1#: Asal çarpanlarına ayırmak
- Adım 2#: Ortak olan asal çarpanları seçmek
Elimizdeki sayıar 28 ve 16’yı birinci vakit içinderda asal çarpanlarına ayıralım.
Adım 2#: Ortak olan asal çarpanları seçmek ve bulunan ortak sayıları çarpmak
Artık ortak olan asal çarpanları seçelim, iki sayıda da 2 adet 2’nin ortak olduğunu görüyoruz. Bu sayıları çarparak en büyük ortak bölenlerini elde etmiş oluruz. Alışılmış ki yanıt bir daha 4 olur.
Pekala EKOK nedir?
En küçük ortak kat, verilen iki yahut daha fazla sayının en küçük ortak katını bulmamıza imkan sağlıyor. Hesaplamada bir daha asal çarpanlardan yararlanabileceğimiz üzere, iki sayının en büyük ortak bölenini kullanarak da EKOK hesaplayabiliyoruz.
Birinci metotta asal çarpanları sıralayarak başlıyoruz. Akabinde ortak çarpanları birer kere yazıp, ortak olmayanları da dahil ederek çarpma yapıyoruz ve sonuca ulaşıyoruz. İkinci metotta ise elimizdeki iki sayıyı çarpıp mutlak bedel içerisine alıyoruz. Akabinde kararı bu iki sayının EBOB’una bölerek EKOK’a ulaşmış oluyoruz. Artık bunlara ayrıntılıca bakalım.
EKOK nasıl hesaplanır?
- Prosedür #1: Asal çarpanları kullanarak EKOK hesaplama
- Metot #2: Asal çarpanları üslerle tabir ederek EKOK hesaplama
- Adım 1#: 28 ve 16’yı asal çarpanlarına ayırma
- Adım 2#: Birebir olan çarpanlardan birer tane almak ve sonuca ulaşma
EBOB anlatımında yapıldığı üzere tıpkı biçimde 28 ve 16’yı asal çarpanlarına ayırıyoruz
Adım 2#: Birebir olan çarpanlardan birer tane almak ve sonuca ulaşmak
Artık tıpkı olan çarpanlardan birer adedini alacağız, siyah işaretli ikiler her iki sayının da çarpanı olduğundan birer sefer alınacaklar. Bunlar haricindeki çarpanlar da direkt olarak eklenecek. Bu durumda EKOK (28, 16)=7x2x2x2x2=112 olarak hesaplanıyor.
Bu metotta dikkat etmemiz gereken nokta ortak asal çarpanlardan sadece birer adedini çarpmaya ekliyor olmamız. Siyah daire ortasındaki 2’lerden her iki sayının çarpanlarında da olduğu için onlardan birer adedini sürece ekliyoruz. bu biçimdelikle 4 adet 2 ve bir adet 7 yi çarparak sonuca ulaşabiliyoruz.
Sistem #2: Asal çarpanları üslerle tabir ederek EKOK hesaplama:
- Adım 1#: Asal çarpanları belirlemek
- Adım 2#: Belirlenen sayıları üslü sayılar halinde düzenlemek
- Adım 3#: Kuvveti en yüksek olanlar ile çarpmak
Adım 1#: Asal çarpanları belirlemek
Üstteki örneklerde verildiği üzere tıpkı biçimde 28 ve 16’yı asal çarpanlarına ayırıyoruz.
Adım 2#: Belirlenen sayıları üslü sayılar halinde düzenlemek
Asal çarpanlarına ayırdıktan daha sonra belirlediğimiz sayıları üstlü sayılar hailne getiriyoruz.
Adım 3#: Kuvveti en yüksek olanlar ile çarpmak
Buradaki çarpanlar içinde kuvveti en yüksek olanları alıp çarpacağız. Yani 7’nin kuvveti 1 olduğundan 7 üzeri 1, 2’nin en yüksek kuvveti 4 olduğundan 2 üzeri 4 ü çarpıma ekleyeceğiz. Süreci yaptığımızda yanıt 112 bulunuyor:
EBOB ve EKOK hesaplama araçları:
EBOB ve EKOK’un nasıl hesaplanacağını üstte belirttik. Ne kadar kendi elimizle yapacağımız yollar olsa da, bu hesaplamaları bizim yerimize yapan uygulamalar da mevcut. Bu uygulamalar genel manada kullanması fiyatsız ve bir birçoklarına internet üzerinden kolaylıkla erişebiliyorsunuz. İnternet sitelerinin yanı sıra taşınabilir cihazlarınızdan da EBOB ve EKOK hesaplayacak uygulamalara fazlaca rahat bir biçimde erişebilirsiniz.
Andorid için EBOB ve EKOK hesaplama araçları:
İOS için EBOB ve EKOK hesaplama araçları:
iOS mağazasında bulabileceğiniz uygulamalar maalesef Android’deki kadar çeşitli değil ve uygulamanın kendisi paralı. Lakin bir dahade örnek olarak vermek istedik.