Eliptik eğrilerle şifreleyin
Eliptik eğriler modern asimetrik şifrelemenin temelini oluşturur. Nispeten matematiksel olarak karmaşıktırlar, ancak işlevleri hala açık bir şekilde açıklanabilir. Peki nasıl çalışıyorlar?
Eliptik eğriler, belirli bir forma sahip matematiksel fonksiyonlardır. En büyük özel özellik, fonksiyonel değerin bir kare olarak temsil edilmesidir, bu da eliptik bir eğrinin X ekseninde simetrik olarak davrandığı anlamına gelir. Temel form:
Y^2 = x^3 + a*x + b
Bir anlamda, eliptik bir eğri, üçüncü derece polinomuna benzer, y Bununla birlikte, eğri çok farklı davranır. Ancak, polinomlarla benzerlikler vardır, örneğin faktörler sağlar A VE B Eğrinin katsayıları. Seçiminiz eğrinin temel biçimini belirler.
Her iki katsayının da değer vermesi durumunda özel bir özellik artar 0 SET – Bu durumda eğri, koordinat sisteminin sıfır noktasında bir düğüm içerir, bu nedenle bu durumda tekillikten bahsediyoruz (ve artık gerçek anlamda bir eğri değildir).
Önerilen editoryal içerik
Rızanızla, burada harici bir YouTube videosu (Google Ireland Limited) burada davet edilir.
YouTube videosu her zaman yüklenir
YouTube videosu artık yüklüyor
Eliptik eğriler nelerdir?
Eliptik eğrilerde aritmetik
İki puan seçin P VE Q Eliptik bir eğri üzerinde, düz bir çizgiye bağlayabilirsiniz. Bu, eğriyi üçüncü bir noktada kesen özelliğe sahiptir. X ekseni üzerindeki bu noktayı yansıtırsanız, iki orijinal noktanın toplamını temsil eden bir nokta alın. Bu şekilde (çeken ve yansıtan biri), iki noktanın toplamını belirlemek mümkündür.
Bu işlem şimdi tekrarlanabilir: başka bir rastgele nokta arıyorsanız RBağlanır R O zaman nokta ile P+Q Ve sonra tekrar yansıtılır, sonra yeni toplamı buna göre alın (P+Q)+R. Bu prosedür artık her zaman başka bir nokta eklemek için istendiği gibi devam edebilir.
Sürekli olarak yeni noktalar aramak pratik olmadığından, bu prosedürün basitleştirilmiş bir varyantı vardır. Hareket P VE Q Birbirlerine kadar birbirlerinin başında Q vazgeçmek. Sadece bir tane iki noktaya çekmek yerine, şimdi teğet rehberlik etmek P A – Eliptik eğri de yansıtılabilecek diğer nokta olacaktır.
Sonuç, toplamı P Kendinle, yani P+P VEYA 2p. Şimdi bağlanıyor 2p geri dönmek PYansıtabileceğiniz ve seyahat edebileceğiniz başka bir kavşak alın 3p. Bu prosedür artık süresiz olarak devam etmiş olabilir. 4p,, 5p,, 6p veya son olarak NP inşa etmek. Önemli bir soru şu: Diyelim ki, P VE NP O zamanlar verilir, o zaman N keşfetmek?
Önerilen editoryal içerik
Rızanızla, burada harici bir YouTube videosu (Google Ireland Limited) burada davet edilir.
YouTube videosu her zaman yüklenir
YouTube videosu artık yüklüyor
Eliptik eğrilerde aritmetik
Eliptik eğrilere daha hızlı çizin
Önemsiz cevap, denemeyi öğrenirsiniz: P Sonunda noktaya gelene kadar aşağıdaki formlara dayanarak NP Çıkıyor – değerini zaten biliyorsunuz N. Yani prosedür olanlar için NP inşa edilmiş, eşit derecede karmaşık olanlar için N -den NP Belirlemek istiyorsun.
Ancak, inşaat için bir kısaltma var NP. Matematiksel bir bakış açısından, eliptik eğriler gruplardan başka bir şey değildir, bu yüzden gruplar için hesaplama kuralları kendileri için geçerlidir. Bu yerine 3P+P Örneğin de 2p+2p hesaplayabilir ve aynı sonuç 4p Geliyor.
Şimdi bundan yararlanabilirsin NP Büyük olanlar için bile N Verimli hesaplamak için. Buna dönüştürmek N İkili sunumda birincisi, 227 Örneğin bunu yapardı 11100011. Bu, değerinin 227p GİBİ
128p + 64p + 32p + 2p + p
Hesaplamak. Bu değerler sırayla P belirlemek. Bu, hesaplamasını hızlandırır 227p dramatik. Ancak, “çift ve ek” olarak bilinen bu prosedür kolayca tersine çevrilemez: 227p belirlemek için N değer 227 Önemli ölçüde daha yüksek çabaya karşılık gelir.
Bu dengesizlik artık şifrelemede kullanılabilir, çünkü sonunda eliptik eğrilere ekleme artık bir düşme işlevidir: hesaplama yolu çok basit olsa da, diğerinde çok karmaşıktır. Aslında, bahsedilen sorun, RSA'nın temel problemini hatırlatan “eliptik eğrilerin gizli logaritması” dır.
Önerilen editoryal içerik
Rızanızla, burada harici bir YouTube videosu (Google Ireland Limited) burada davet edilir.
YouTube videosu her zaman yüklenir
YouTube videosu artık yüklüyor
Eliptik eğrilere daha hızlı çizin
Şifreleme için eliptik eğriler
Alice ve Bob'un, katsayılarına neden olan ortak bir eliptik eğri ile kabul etmeden önce (kamuya açık) şifreli iletmek istediklerini varsayarsak. Ayrıca birlikte bir başlangıç noktası seçin P. Alice ve Bob özel anahtarlarını gizli olarak seçer A VEYA B ve ardından “Double and Ekle” yoluyla ilgili genel anahtarınızı hesaplayın AP VE BP.
Alice ona halka açık anahtar verir AP Şimdi Bob ve Bob'da halka açık anahtarını veriyor BP Alice'e. Şimdi her ikisi de diğerinin genel anahtarını kendi özel anahtarıyla çarpın:
Alice: BP + BP +… + BP = BP * A
Bob: Ap + ap +… + ap = ap * b
Eliptik eğriler zaten bahsedildiğinden, P Klitoris sonuç dışında. Yolda, Alice ve Bob birbirinden bağımsız olarak aynı gizli noktaya gelir (From)*p. Bir saldırgan için, bu gizli noktayı bilgi olmadan en az bir özel anahtarı yeniden yapılandırmak kolay değildir.
Alice ve Bob şimdi mesajlarını simetrik olarak şifreliyor, örneğin olumsuz olaylarla ve paylaşılan gizli noktanın koordinatını bir anahtar olarak kullanıyorlar.
Prosedür matematiksel bir bakış açısından mükemmel bir şekilde çalışsa da, pratikte bir zayıflığı vardır: noktaların koordinatları çok büyük hale gelir ve ortak veri türlerinin değerlerini hızla aşar. Aynı şey ondalık yerler için de geçerlidir, bu yüzden Alice ve Bob'un artık aynı gizli noktaya ulaşamayacağı yuvarlama hatalarına ve yanlışlıklara yol açar.
Önerilen editoryal içerik
Rızanızla, burada harici bir YouTube videosu (Google Ireland Limited) burada davet edilir.
YouTube videosu her zaman yüklenir
YouTube videosu artık yüklüyor
Şifreleme için eliptik eğriler
Uygulamada eliptik eğriler
Bu nedenle, pratikteki eliptik eğriler entegre değerlerle sınırlıdır, bu da onları ilk sayı ile hala modüler hale getirir. P Eklendi:
Y^2 = x^3 + a*x + b mod p
Bu nedenle sonuç artık bir eğri değil, bir nokta bulutudur, bu nedenle koordinatlar artık dolu ve yönetilebilir bir boyuttadır. Bununla birlikte, eliptik eğrilerin temel özellikleri korunur. Ayrıca bu durumda, “çift ve ekle” verimli bir şekilde tersine çevrilemez.
Bu, şimdi eliptik eğrilerin sadece matematiksel olarak değil, aynı zamanda şifreleme için de çok pratik olarak kullanılabileceği anlamına gelir.
Önerilen editoryal içerik
Rızanızla, burada harici bir YouTube videosu (Google Ireland Limited) burada davet edilir.
YouTube videosu her zaman yüklenir
YouTube videosu artık yüklüyor
Uygulamada eliptik eğriler
Çözüm
RSA ve diğer asimetrik süreçlerden farklı olarak, eliptik eğriler çok açık ve görsel bir şekilde açıklanabilir. Bununla birlikte, matematiksel bir bakış açısından, şifreleme için mükemmel ve güçlü bir temeldir. Temel kavramlar her zaman diğer asimetrik süreçlerle aynıdır.
Eliptik eğrilerle ilişkili olarak hibrit bir işlem de kullanılır, bir düşme işlevi gereklidir, özel ve genel bir anahtar vardır: temel şifreleme blokları eliptik eğrilerle aynı kalır.
()